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我来举个通俗易懂的例子吧。我大一是这么理解记忆的，到现在大四一直没忘记过。
要理解卷积，就必须树立起来“瞬时行为的持续性后果”这个概念。
举个例子。在一个时刻点，我以迅雷不及掩耳之势吃下了一个冰激凌，此时我的体重瞬间增加，之后随着消化吸收能量利用和排泄等生理活动的进行，我的体重又缓慢下降。如下图所示：
我们把这个函数记为 。我们把基础体重记为0，即没吃冰淇凌的时候体重是0，吃冰淇凌的效果过去了之后体重还是0。我们记每一个冰淇凌带来的瞬间体重增加为
。易知，
。
如何理解“瞬时行为的持续性后果”呢？在这个例子里，吃冰激凌是瞬间完成的动作，是一个瞬时行为；吃完冰激凌之后的体重的缓慢下降是持续了一段时间的，因此是吃冰激凌这个瞬时行为的一个持续性后果。
此时，只有在0时刻的瞬间吃了一个冰淇凌，在0时刻的瞬间，吃冰淇凌的速度是 ，其中
表示极小的一个时间段；在其他时刻，吃冰淇凌的速度为0。因此，我们可以用一个冲击函数
来表示在这种情况下吃冰淇凌的速度。
表示的是，当吃冰淇凌的速度为冲击函数
的时候，对我的体重的影响。
接下来我们考虑，我吃冰淇凌的频率很低，且每次只在一个瞬间吃一个冰淇凌，每次都等到体重恢复到原来的程度了再吃一个，那么我的体重变化就是这样子的。
这种情况下，如果我想要知道每一个时刻的体重，只需要知道我吃每个冰淇凌的时刻 ，再知道吃一个冰淇凌的效果
，很容易就能求出来了。
接下来，我们考虑，如果我吃冰淇凌的速度恒定为1（注意不是一瞬间吃一个了，不是冲击函数），且时时刻刻都在吃冰淇凌，那么，在我连续吃了时间的冰淇凌之后，我的体重是多少呢？
这个问题是不是有点不好算了呢？之前的冰淇凌增加的体重还没降到0呢，现在的冰淇凌带来的体重就又来了，还一直持续，还是连续的，想想就头疼。
这个时候，要引入两个个原理 。
第一，线性原理。即，我在一瞬间吃冰淇凌的个数，会以线性的方式作用在冰淇凌对体重的影响函数 上。我在一个瞬间吃了1个冰淇凌，之后我的体重变换是
，如果我在一个瞬间吃了0.5个冰淇凌，之后我的体重变换是
，如果n个呢，那就是
。
第二，累加原理。即，冰淇凌的作用效果是可以累加的。即，一段时间之前我吃了一个冰淇凌，经过了一段时间的体重下降，现在我的体重是 。现在我又吃了一个冰淇凌，体重又增加了。假设这个增加是可以累积的（直观上也是可以累积的），那么我的体重就会是
。这就是累加原理。
这时我们来试着计算，在从开始就不停地吃冰淇凌，且吃冰淇凌的速度恒定为1的情况下，在任意时刻 我的体重。
由于我在不停地吃冰淇凌，所以，我们先算，在某时刻 附近的一瞬间
，我吃的冰淇凌对现在时刻
的我的体重的影响。因为，吃冰淇凌的速度是1，时间是
，因此，在
这一瞬间我吃的冰淇凌的个数是
。那么根据线性原理，在
这一瞬间，我吃的冰淇凌对现在时刻
的我的体重的影响就是
。
那么，根据累加原理，现在时刻 的我的体重就是：从0到
时刻我吃的所有冰淇凌对我的体重的影响的累加，即为：
上面这个式子是不是有点像我们学过的卷积了呢？
我们上面的讨论基于我们吃冰淇凌的速度是常数1，那么，如果我吃冰淇凌的速度不是常数，而是一个连续变化的函数，如在t时刻，吃冰淇凌的速度是 。那么，在我连续吃了
时间的冰淇凌之后，我的体重是多少呢？
同样，我们先算，在某时刻 附近的一瞬间
，我吃的冰淇凌对现在时刻
的我的体重的影响。因为，吃冰淇凌的速度是
，时间是
，因此，在
这一瞬间吃的冰淇凌的个数是
。那么根据线性原理，在
这一瞬间，我吃的冰淇凌对现在时刻
的我的体重的影响就是
。
再根据累加原理，现在时刻 的我的体重就是：从0到
时刻我吃的所有冰淇凌对我的体重的影响的累加，即为：
这就是大家平时接触到的卷积了！
因此，在我的理解下，我将卷积解释为：
一个对象（本文中的吃冰淇凌）对一个系统（本文中的体重）的作用效果满足线性原理、累加原理。该对象对这个系统连续作用了一段时间后，求该系统的状态。这个时候，一个卷积就可以求出来了！
在卷积 中，第一个函数
表示这个对象对系统的作用速度。第二个函数
表示当作用速度为单位冲击函数时这个对象对系统的作用效果。
我们来验证一下第二个函数 的意义。取我吃冰淇凌的速度为单位冲击函数
，则到时刻
我的体重就是：
，的的确确就是我吃冰淇凌的速度为单位冲击函数时，我的体重的变换。
最后，是一点说明。
课本上标准的卷积其实长成下面这个样子，积分区间是 。
这个在我这个case里也比较好理解，主要是考虑到时间的物理意义。
第一，理解当 时，
恒成立。这个比较容易理解，因为，我在
时刻吃的冰淇凌，对吃冰淇凌之前也就是
时刻的我的体重是没有影响的。所以，当
的时候，
，
。
第二，理解当 时，
恒成立。这个更好理解，就是时间非负性。我是从
时刻开始吃冰淇凌的，
表示我在
时刻吃冰淇凌的速度。
的时候，我还没吃冰淇凌呢 ，自然不存在吃冰淇凌的速度这个概念。
所以，
在其他的case里，情况就不一样了。
1、某一个对象的作用域可能不是时间域，不必遵循时间上的因果律。因此，当 时，
。
2、某一个对象的作用域可能不是时间域，作用域存在负数的可能性。因此，当 时，
。
基于以上两点考虑，积分区间就是 ，也就是课本上标准的卷积形式了！
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!important;">—</span></strong>完<strong style="max-width: 100%;font-size: 16px;letter-spacing: 0.544px;box-sizing: border-box !important;overflow-wrap: break-word !important;"><span style="max-width: 100%;letter-spacing: 0.5px;font-size: 14px;box-sizing: border-box !important;overflow-wrap: break-word !important;"><strong style="max-width: 100%;font-size: 16px;letter-spacing: 0.544px;box-sizing: border-box !important;overflow-wrap: break-word !important;"><span style="max-width: 100%;letter-spacing: 0.5px;box-sizing: border-box !important;overflow-wrap: break-word !important;">—</span></strong></span></strong></span></strong></section><section style="max-width: 100%;letter-spacing: 0.544px;white-space: normal;font-family: -apple-system-font, system-ui, "Helvetica Neue", "PingFang SC", "Hiragino Sans GB", "Microsoft YaHei UI", "Microsoft YaHei", Arial, sans-serif;widows: 1;box-sizing: border-box !important;overflow-wrap: break-word !important;"><section powered-by="xiumi.us" 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