知行编程网知行编程网  2022-06-12 17:00 知行编程网 |  隐藏边栏 |   抢沙发 |  175 
文章评分 0 次，平均分 0.0 ：

双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用

来自 | 知乎   作者丨林小北
链接丨https://zhuanlan.zhihu.com/p/62532887
编辑 | 深度学习这件小事
仅作学术交流，如有侵权，请联系删文
双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用

最近看了一系列bilinear pooling相关的文章，感觉有些文章写得比较抽象。费了不少功夫总算理顺了这些文章的关系，这里简单写个笔记记录一下~

   一、简介


bilinear pooling在2015年于《Bilinear CNN Models for Fine-grained Visual Recognition》被提出来用于fine-grained分类后，又引发了一波关注。bilinear pooling主要用于特征融合，对于从同一个样本提取出来的特征x和特征y，通过bilinear pooling得到两个特征融合后的向量，进而用来分类。

如果特征x和特征y来自两个特征提取器，则被称为多模双线性池化（MBP，Multimodal Bilinear Pooling）；如果特征x=特征y，则被称为同源双线性池化（HBP，Homogeneous Bilinear Pooling）或者二阶池化（Second-order Pooling）。此外，有些文章也把bilinear model称为bilinear pooling（这么做是有原因的，下文会分析）。

原始的Bilinear Pooling存在融合后的特征维数过高的问题，融合后的特征维数=特征x和特征y的维数之积。原作者尝试了PCA降维，但效果并不理想。基于降低bilinear pooling特征维数的思想，近年来的改进方案参见下表：

双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用

本文将包括以下内容：

  1. 对bilinear pooling进行详细介绍，便于读者理解原文；

  2. 建立bilinear pooling到bilinear model的联系，便于读者理解以MLB为核心的bilinear model相关文章。

  3. 快速介绍对bilinear pooling的各种改进形式。


   二、bilinear pooling详解


这里参考《Bilinear CNN Models for Fine-grained Visual Recognition》，CVPR 2015一文，给出bilinear pooling的详细定义。

对于图像    在位置    的两个特征    和    ， 进行如下操作：

双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用

直观上理解，所谓bilinear pooling，就是先把在同一位置上的两个特征双线性融合（相乘）后，得到矩阵    ，对所有位置的    进行sum pooling（也可以是max pooling，但一般采用sum pooling以方便进行矩阵运算）得到矩阵    ，最后把矩阵    张成一个向量，记为bilinear vector   。对  进行矩归一化操作和L2归一化操作后，就得到融合后的特征    。之后，就可以把特征   用于fine-grained分类了，如下图所示：
双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用
对于我们熟悉的图像特征，   ，而    和    分为别特征的通道数，把两个特征分别写成向量  
  
和    ，
有

记    ， 
   ，
即可用矩阵操作来表示生成    ，
即   

作者使用bilinear pooling对两种特征提取器进行融合，再用于fine-grained分类，取得不错的效果。bilinear pooling的形式简单，便于梯度反向传播，进而实现端到端的训练。
双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用

   三、Second-order Pooling

Second-order Pooling最早出自ECCV2012的文章《Semantic segmentation with second-order pooling》，原文对Second-order Pooling的定义如下：
双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用
由于Second-order Pooling用到了特征x的二阶信息，所以在一些任务下能比一阶信息表现更为优秀。

对比bilinear pooling的定义，不难发现，当    的时候，二者是等价的。也就是说，二阶池化（Second-order Pooling）=同源双线性池化（HBP，Homogeneous Bilinear Pooling）。

下面介绍bilinear pooling的各种改进。

   四、CBP: Compact Bilinear Pooling


CBP出自CVPR 2016《Compact bilinear pooling》一文，作者观察到在分类问题中，提取的特征常常采用SVM或者logistic regression，而这两种形式都可以被看作是线性核机器（linear kernel machines），具有如下的形式：
双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用
注意到
双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用
如果我们能够找到满足 的低维投影函数 ，那么有
双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用
也就是说，当  时，有 。基于这个思想，作者提出了采用了两种方法 Random Maclaurin (RM)和Tensor Sketch (TS)对bilinear pooling进行降维。具体细节如下：

双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用

   五、MCBP: Multimodal Compact Bilinear Pooling


《Multimodal compact bilinear pooling for visual question answering and visual grounding》是EMNLP2016的文章。本文在CBP的基础上提出了MCBP，并将其应用于看图答题（VQA，visual question answering）领域。

注意到CBP是针对HBP进行改进的，对CBP的TS算法稍加改动，使其适用于融合不同模态的特征，即可得到MCBP，如下图所示。
双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用
在得到MCBP模块后，作者提出用于VQA的网络结构如下：
双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用
这个结构相当容易理解，就是一共用到了两次MCBP模块，第一个MCBP融合了文本和图像的特征进而用来提取图像的attention，第二个MCBP则把图像的attention特征与文本特征再一次融合，最终结果送入softmax分类器得到答案。

   六、LRBP：Low-rank Bilinear Pooling


LRBP出自CVPR2017的文章《Low-rank bilinear pooling for fine-grained classification》，与CBP一样，都是假定采用的分类器是SVM来对HBP进行简化。

考虑SVM问题
双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用
双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用
的最优解w*，以及问题
双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用
的最优解W*，作者证明了
双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用
并且W*是实对称矩阵。实对称矩阵的一大优点是可以进行特征值分解，即
双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用
如果用两个低秩矩阵U+和U_去近W*，则问题转换为：
双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用
双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用
这样就避免了原始bilinear pooling里面  的计算，降低了计算量。

   七、Grassmann Pooling


Grassmann Pooling出自ECCV 2018的文章《Grassmann Pooling as Compact Homogeneous Bilinear Pooling for Fine-Grained Visual Classification》，也是针对HBP的改进。

考虑形式为
双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用
的bilinear pooling，有引理如下：
双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用
也就是说，对矩阵进行SVD分解，前k个左奇异向量组成的矩阵  是对矩阵的低秩最优逼近。

基于这个引理，作者提出了Grassmann pooling如下:
双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用
显然，Grassmann pooling也能够简化bilinear pooling计算量。

上面提到的三种改进形式CBP、LRBP、Grassmann Pooling都是针对HBP的改进。MCBP直接对CBP改动用于多模态特征的融合，但是考虑到CBP的出发点是核函数，MCBP的改动其实有点站不住脚的。对于MBP的改进工作，主要是以MLB为基础。MLB的核心是利用Hadamard积来简化bilinear model的操作。在介绍MLB之前，先介绍一篇承上启下的工作，把bilinear pooling和billinear model建立联系。

   八、从bilinear pooling到billinear model


《Factorized bilinear models for image recognition》是ICCV2017的文章，虽然本文也是针对HBP的研究，但成功地把bilinear model与bilinear pooling联系起来。而后面的工作MLB正是从bilinear model的角度出发去改进MBP。

首先介绍bilinear model，对于特征向量x和特征向量y，bilinear model是指形如
双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用
的操作。

忽视bilinear pooling的归一化操作，记HBP的特征为  ，

在分类任务中，我们常常会把提取的特征送入全连接层再送入softmax层。作者发现，这个操作与bilinear model是等价的，即
双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用
其中    是全连接层的参数矩阵，而  是与其相对应的一个矩阵。既然  是需要通过学习得到的，那不如直接写成bilinear model的形式，对  进行学习。

也就是说，bilinear pooling与bilinear model是等价的。更令人欣喜的是，这个结论对于MBP也是适用的，所以后面MLB直接针对bilinear model进行改进。

基于这个发现，作者提出了Factorized bilinear model，把特征的一阶信息和二阶信息都利用起来，进而更好的fine-grained分类，其形式如下：

双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用

这里利用低秩矩阵    来替代  ，简化了计算量。

   九、MLB：Multimodal Low-rank Bilinear Pooling


有了上篇工作的介绍，理解MLB就非常容易了，MLB出自ICLR2017的文章《 Hadamard product for low-rank bilinear pooling》。文章核心是用Hadamard积（就是按元素乘）来实现bilinear model，把
双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用
写成了
双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用

这样的好处是，利用低秩矩阵    及    来近似    ，并且简化了操作。
当希望bilinear model的输出是向量的时候，只需扩大矩阵    及   ，并采用矩阵    控制输出的长度即可，如下所示：
双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用
本文的写作相当严谨，各个矩阵的尺寸大小均有注明，有兴趣的读者自行翻阅。

   十、MFB：Multi-modal factorized bilinear pooling


MFB出自ICCV2017《Multi-modal factorized bilinear pooling with co-attention learning for visual question answering》。本文的思路与MLB十分相似，不同点在于当希望bilinear model的输出是向量的时候，本文直接把U和V变成了三维张量，再通过sum pooling来进行通道融合得到最后的输出。
双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用
在MFB的基础上，作者于《Beyond bilinear: Generalized multimodal factorized high-order pooling for visual question answering》一文中提出了MFH（Multi-modal factorized high-order pooling ）。把MFB操作分为两个阶段Expand Stage和Squeeze Stage，MFH就是把MFB堆叠起来以得到高阶信息，如下图所示
双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用
作者成功地把MFB/MFH应用于VQA，提出的网络结构如下：
双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用
这个结构与前文提到的《Multimodal compact bilinear pooling for visual question answering and visual grounding》相当类似，都是利用融合后的特征提取图像的attention特征，再进而第二次融合进而用来分类。不同之处在于，作者模拟了人类“审题”的思维模式，先建立了文本的attention特征，再去考虑与图像的特征融合。

前面介绍的工作，都是针对bilinear pooling的计算量过大而进行的改进。作为融合特征的有效方法，bilinear pooling在fine-grained分类和VQA都有不错的发挥。这里再简要介绍bilinear pooling的几篇应用。

   十一、应用于VQA领域的《Bilinear attention networks》


本文是MLB的续作，发表于NIPS2018。本文借助bilinear model的思想提出了bilinear attention的思想。常规的attention map是对单个特征的attention，output=feature * attention map，而本文提出的bilinear attention map则对两个特征的attention， output=feature1 * bilinear attention map * feature2，表达式如下：
双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用
双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用
这个表达式与MLB十分相似，可以说是一脉相承。

本文提出的网络结构如下所示，左图通过MLB把图像特征和文本特征融合，进而得到bilinear attention map，右图则是把bilinear attention map用于进行图像特征和文本特征的attention融合。该网络较为复杂，有兴趣的读者自行翻阅原文。

双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用


  • 应用于分类领域的《Hierarchical Bilinear Pooling for Fine-Grained Visual Recognition》

本文出自ECCV2018，核心思想是把不同层的特征通过bilinear pooling两两融合，最后concate后进行分类。
双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用
  • 应用于ReID领域的《Part-Aligned Bilinear Representations for Person Re-Identification》

本文出自ECCV2018，核心是把行人的全局特征与局部特征（通过openpose预训练得到）通过bilinear pooling融合，再进行检索。
双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用
  • 应用于三维物品识别领域的《Multi-View Harmonized Bilinear Network for 3D Object Recognition》

本文出自CVPR 2018，核心是利用HBP提取多视角特征。
双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用

  • 应用于动作识别领域的《Deep Bilinear Learning for RGB-D Action Recognition》


本文出自ECCV 2018，基于bilinear model提出了bilinear block，来更好地融合多模态信息。
双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用
<pre data-darkmode-bgcolor="rgb(36, 36, 36)" data-style="max-width: 100%; letter-spacing: 0.544px; background-color: rgb(255, 255, 255); font-size: 16px; text-size-adjust: auto; text-align: center; box-sizing: border-box !important; overflow-wrap: break-word !important; color: rgba(230, 230, 230, 0.9) !important;" data-darkmode-color="rgba(230, 230, 230, 0.9)" data-darkmode-original-color="rgba(230, 230, 230, 0.9)" data-darkmode-original-bgcolor="rgb(255, 255, 255)" data-darkmode-bgcolor-15862411819306="rgb(36, 36, 36)" data-darkmode-original-bgcolor-15862411819306="rgb(255, 255, 255)" data-darkmode-color-15862411819306="rgba(230, 230, 230, 0.9)" data-darkmode-original-color-15862411819306="rgba(230, 230, 230, 0.9)" data-darkmode-bgcolor-15862671987026="rgb(36, 36, 36)" data-darkmode-original-bgcolor-15862671987026="rgb(255, 255, 255)" data-darkmode-color-15862671987026="rgba(230, 230, 230, 0.9)" data-darkmode-original-color-15862671987026="rgba(230, 230, 230, 0.9)" data-darkmode-bgcolor-15864118999603="rgb(36, 36, 36)" data-darkmode-original-bgcolor-15864118999603="rgb(255, 255, 255)" data-darkmode-color-15864118999603="rgba(230, 230, 230, 0.9)" data-darkmode-original-color-15864118999603="rgba(230, 230, 230, 0.9)" data-darkmode-bgcolor-15864940858736="rgb(36, 36, 36)" data-darkmode-original-bgcolor-15864940858736="rgb(255, 255, 255)" data-darkmode-color-15864940858736="rgba(230, 230, 230, 0.9)" data-darkmode-original-color-15864940858736="rgba(230, 230, 230, 0.9)" data-darkmode-bgcolor-15869584691402="rgb(36, 36, 36)" data-darkmode-original-bgcolor-15869584691402="rgb(255, 255, 255)" data-darkmode-color-15869584691402="rgba(230, 230, 230, 0.9)" data-darkmode-original-color-15869584691402="rgba(230, 230, 230, 0.9)" data-darkmode-bgcolor-15869584691739="rgb(36, 36, 36)" data-darkmode-original-bgcolor-15869584691739="rgb(255, 255, 255)" data-darkmode-color-15869584691739="rgba(230, 230, 230, 0.9)" data-darkmode-original-color-15869584691739="rgba(230, 230, 230, 0.9)" data-darkmode-bgcolor-15873005456075="rgb(36, 36, 36)" data-darkmode-original-bgcolor-15873005456075="rgb(255, 255, 255)" data-darkmode-color-15873005456075="rgba(230, 230, 230, 0.9)" data-darkmode-original-color-15873005456075="rgba(230, 230, 230, 0.9)" data-darkmode-bgcolor-15873005456615="rgb(36, 36, 36)" data-darkmode-original-bgcolor-15873005456615="rgb(255, 255, 255)" data-darkmode-color-15873005456615="rgba(230, 230, 230, 0.9)" data-darkmode-original-color-15873005456615="rgba(230, 230, 230, 0.9)" data-darkmode-bgcolor-15886839320558="rgb(36, 36, 36)" data-darkmode-original-bgcolor-15886839320558="rgb(255, 255, 255)" data-darkmode-color-15886839320558="rgba(230, 230, 230, 0.9)" data-darkmode-original-color-15886839320558="rgba(230, 230, 230, 0.9)"><p><br  /></p><pre data-darkmode-bgcolor="rgb(36, 36, 36)" data-style="max-width: 100%; letter-spacing: 0.544px; background-color: rgb(255, 255, 255); font-size: 16px; text-size-adjust: auto; text-align: center; box-sizing: border-box !important; overflow-wrap: break-word !important; color: rgba(230, 230, 230, 0.9) !important;" data-darkmode-color="rgba(230, 230, 230, 0.9)" data-darkmode-original-color="rgba(230, 230, 230, 0.9)" data-darkmode-original-bgcolor="rgb(255, 255, 255)" data-darkmode-bgcolor-15862411819306="rgb(36, 36, 36)" data-darkmode-original-bgcolor-15862411819306="rgb(255, 255, 255)" data-darkmode-color-15862411819306="rgba(230, 230, 230, 0.9)" data-darkmode-original-color-15862411819306="rgba(230, 230, 230, 0.9)" data-darkmode-bgcolor-15862671987026="rgb(36, 36, 36)" data-darkmode-original-bgcolor-15862671987026="rgb(255, 255, 255)" data-darkmode-color-15862671987026="rgba(230, 230, 230, 0.9)" data-darkmode-original-color-15862671987026="rgba(230, 230, 230, 0.9)" data-darkmode-bgcolor-15864118999603="rgb(36, 36, 36)" data-darkmode-original-bgcolor-15864118999603="rgb(255, 255, 255)" data-darkmode-color-15864118999603="rgba(230, 230, 230, 0.9)" data-darkmode-original-color-15864118999603="rgba(230, 230, 230, 0.9)" data-darkmode-bgcolor-15864940858736="rgb(36, 36, 36)" data-darkmode-original-bgcolor-15864940858736="rgb(255, 255, 255)" data-darkmode-color-15864940858736="rgba(230, 230, 230, 0.9)" data-darkmode-original-color-15864940858736="rgba(230, 230, 230, 0.9)" data-darkmode-bgcolor-15869584691402="rgb(36, 36, 36)" data-darkmode-original-bgcolor-15869584691402="rgb(255, 255, 255)" data-darkmode-color-15869584691402="rgba(230, 230, 230, 0.9)" data-darkmode-original-color-15869584691402="rgba(230, 230, 230, 0.9)" data-darkmode-bgcolor-15869584691739="rgb(36, 36, 36)" data-darkmode-original-bgcolor-15869584691739="rgb(255, 255, 255)" data-darkmode-color-15869584691739="rgba(230, 230, 230, 0.9)" data-darkmode-original-color-15869584691739="rgba(230, 230, 230, 0.9)" data-darkmode-bgcolor-15873005456075="rgb(36, 36, 36)" data-darkmode-original-bgcolor-15873005456075="rgb(255, 255, 255)" data-darkmode-color-15873005456075="rgba(230, 230, 230, 0.9)" data-darkmode-original-color-15873005456075="rgba(230, 230, 230, 0.9)" data-darkmode-bgcolor-15873005456615="rgb(36, 36, 36)" data-darkmode-original-bgcolor-15873005456615="rgb(255, 255, 255)" data-darkmode-color-15873005456615="rgba(230, 230, 230, 0.9)" data-darkmode-original-color-15873005456615="rgba(230, 230, 230, 0.9)" data-darkmode-bgcolor-15886839320558="rgb(36, 36, 36)" data-darkmode-original-bgcolor-15886839320558="rgb(255, 255, 255)" data-darkmode-color-15886839320558="rgba(230, 230, 230, 0.9)" data-darkmode-original-color-15886839320558="rgba(230, 230, 230, 0.9)"><p style="white-space: normal;text-align: center;"><strong style="color: rgb(0, 0, 0);font-family: -apple-system-font, system-ui, "Helvetica Neue", "PingFang SC", "Hiragino Sans GB", "Microsoft YaHei UI", "Microsoft YaHei", Arial, sans-serif;letter-spacing: 0.544px;widows: 1;background-color: rgb(255, 255, 255);font-size: 16px;max-width: 100%;box-sizing: border-box !important;overflow-wrap: break-word !important;"><span style="max-width: 100%;letter-spacing: 0.5px;font-size: 14px;box-sizing: border-box !important;overflow-wrap: break-word !important;"><strong style="max-width: 100%;font-size: 16px;letter-spacing: 0.544px;box-sizing: border-box !important;overflow-wrap: break-word !important;"><span style="max-width: 100%;letter-spacing: 0.5px;box-sizing: border-box !important;overflow-wrap: break-word !important;">—</span></strong>完<strong style="max-width: 100%;font-size: 16px;letter-spacing: 0.544px;box-sizing: border-box !important;overflow-wrap: break-word !important;"><span style="max-width: 100%;letter-spacing: 0.5px;font-size: 14px;box-sizing: border-box !important;overflow-wrap: break-word !important;"><strong style="max-width: 100%;font-size: 16px;letter-spacing: 0.544px;box-sizing: border-box !important;overflow-wrap: break-word !important;"><span style="max-width: 100%;letter-spacing: 0.5px;box-sizing: border-box !important;overflow-wrap: break-word !important;">—</span></strong></span></strong></span></strong></p><pre><pre style="max-width: 100%;box-sizing: border-box !important;overflow-wrap: break-word !important;"><section style="max-width: 100%;letter-spacing: 0.544px;white-space: normal;font-family: -apple-system-font, system-ui, "Helvetica Neue", "PingFang SC", "Hiragino Sans GB", "Microsoft YaHei UI", "Microsoft YaHei", Arial, sans-serif;widows: 1;box-sizing: border-box !important;overflow-wrap: break-word !important;"><section powered-by="xiumi.us" style="max-width: 100%;box-sizing: border-box !important;overflow-wrap: break-word !important;"><section style="margin-top: 15px;margin-bottom: 25px;max-width: 100%;opacity: 0.8;box-sizing: border-box !important;overflow-wrap: break-word !important;"><section style="max-width: 100%;box-sizing: border-box !important;overflow-wrap: break-word !important;"><section style="max-width: 100%;letter-spacing: 0.544px;box-sizing: border-box !important;overflow-wrap: break-word !important;"><section powered-by="xiumi.us" style="max-width: 100%;box-sizing: border-box !important;overflow-wrap: break-word !important;"><section style="margin-top: 15px;margin-bottom: 25px;max-width: 100%;opacity: 0.8;box-sizing: border-box !important;overflow-wrap: break-word !important;"><section><p style="margin-bottom: 15px;padding-right: 0em;padding-left: 0em;max-width: 100%;color: rgb(127, 127, 127);font-size: 12px;font-family: sans-serif;line-height: 25.5938px;letter-spacing: 3px;text-align: center;box-sizing: border-box !important;overflow-wrap: break-word !important;"><span style="max-width: 100%;color: rgb(0, 0, 0);box-sizing: border-box !important;overflow-wrap: break-word !important;"><strong style="max-width: 100%;box-sizing: border-box !important;overflow-wrap: break-word !important;"><span style="max-width: 100%;font-size: 16px;font-family: 微软雅黑;caret-color: red;box-sizing: border-box !important;overflow-wrap: break-word !important;">为您推荐</span></strong></span></p><p style="margin-top: 5px;margin-bottom: 5px;padding-right: 0em;padding-left: 0em;max-width: 100%;min-height: 1em;font-family: sans-serif;letter-spacing: 0px;opacity: 0.8;line-height: normal;text-align: center;box-sizing: border-box !important;overflow-wrap: break-word !important;">MIT校长评中美科技竞赛：胜利不是期盼对手的失利</p><p style="margin-top: 5px;margin-bottom: 5px;padding-right: 0em;padding-left: 0em;max-width: 100%;min-height: 1em;font-family: sans-serif;letter-spacing: 0px;opacity: 0.8;line-height: normal;text-align: center;box-sizing: border-box !important;overflow-wrap: break-word !important;"><span style="font-size: 14px;">GitHub重大更新：在线开发上线，是时候卸载IDE了</span></p><p style="margin-top: 5px;margin-bottom: 5px;padding-right: 0em;padding-left: 0em;max-width: 100%;min-height: 1em;font-family: sans-serif;letter-spacing: 0px;opacity: 0.8;line-height: normal;text-align: center;box-sizing: border-box !important;overflow-wrap: break-word !important;"><span style="font-size: 14px;">美国官宣117000名 IT 人失业，真是史无前例！</span><br  /></p><p style="margin-top: 5px;margin-bottom: 5px;padding-right: 0em;padding-left: 0em;max-width: 100%;min-height: 1em;font-family: sans-serif;letter-spacing: 0px;opacity: 0.8;line-height: normal;text-align: center;box-sizing: border-box !important;overflow-wrap: break-word !important;">数据分析入门常用的23个牛逼Pandas代码</p><section style="margin: 5px 8px;padding-right: 0em;padding-left: 0em;max-width: 100%;min-height: 1em;font-family: sans-serif;letter-spacing: 0px;opacity: 0.8;line-height: normal;text-align: center;box-sizing: border-box !important;overflow-wrap: break-word !important;">特朗普拿H1B签证开刀，LeCun吴恩达等实名谴责！<br  /></section></section></section></section></section></section></section></section></section>
双线性池化（Bilinear Pooling）详解、改进及应用

本篇文章来源于: 深度学习这件小事

本文为原创文章，版权归所有，欢迎分享本文，转载请保留出处！

知行编程网
知行编程网 关注：1    粉丝：1
这个人很懒，什么都没写

你可能也喜欢

热评文章

上一篇
下一篇

发表评论

表情 格式 链接 私密 签到
扫一扫二维码分享
 繁