知行编程网知行编程网  2022-06-13 10:00 知行编程网 |  隐藏边栏 |   抢沙发 |  150 
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一文读懂卡尔曼滤波(Kalman filter) ，含详细数学推导

来自 | 知乎  作者 | Mockingjay
链接 | https://zhuanlan.zhihu.com/p/134595781
编辑 | 深度学习这件小事
本文仅作学术交流，如有侵权，请联系后台删除

一文读懂卡尔曼滤波(Kalman filter) ，含详细数学推导

   概述

总的来说，卡尔曼滤波器是一个状态估计器，它利用传感器融合、信息融合来提高系统的精度。通常，我们要观测一个系统的状态，有两种手段。一种是通过系统的状态转移方程，并结合上一时刻的状态推得下一时刻的状态。一种是借助辅助系统（量测系统）的测量得到系统状态。这两种方式都有各自的不确定性，卡尔曼滤波可以将这两者做到最优结合（加权平均），使得我们估计的状态的不确定性小于其中任何一种。所以权重的选择至关重要，它意味着我们更信任哪一种方式得出的状态（当然是更加信任不确定性较小的状态）。

   建模

比如，我们观测一辆小车的速度和位置（所以我们要观察的状态就是速度  和位置  ，即状态  ,这里的  都是向量）,当我们有了  时刻的状态  后，那么如果速度不变，我们就可以得到下一时刻的状态  ,其中 ，  。
当然，我们也可以对小车进行控制，比如让小车加速、拐弯等等，这些都可以用一个加速度来表示：  ，这样，下一时刻状态  的表示变为：
将  写成  ，化简为：
写成状态转移的形式：
 （1）
其中：
 被称为状态转移模型（状态转移矩阵）
 被称为控制输入模型，他将我们的控制输入转变为状态的改变。
但是，现实的情况并没有那么理想，小车可能会受到外界的各种扰动，比如，轮胎打滑，地面崎岖等等，都会使得状态转移的过程中混入噪音干扰（过程噪声），而且这个噪音往往是不可被测量的，也就是说，没办法通过建模消除噪音项。不过，往往我们可以认为这个噪音是服从零均值的高斯分布的。那么（1）式重写为
 （2）
其中  是控制输入，在本例中即为 。 ，  为其协方差矩阵。
上面的状态转移方程为我们提供了观察系统状态的一种方式，同时，我们可能有一些辅助系统，比如对于这个小车，我们可以用GPS作为得到其状态的另一种方式。
那样的话，GPS每一时刻都可以提供一次当前状态的观测值  ,它与真实状态  的关系为，  （3）
其中的  是观测模型，它把系统真实状态空间映射成观测空间，  是噪声项，称为观测噪声——因为任何的测量系统都是有误差的，所以观测值实际上是真实值与噪声的叠加。我们同样可以认为此噪声是服从0均值的高斯分布的。即
 ,  为其协方差矩阵。
现在我们比较这两种方式得到的系统状态，容易想到，状态转移方程得到的系统状态在演变时会非常平滑，而它的不确定度会随着迭代的进行而逐渐增大，因为误差会在一次次迭代的过程中不断累积（具体反映为估计状态的方差越来越大）。相反，由量测系统得到的状态不存在累积误差，但演变时也会很不平滑。这时我们就需要将两者得到的状态有效结合起来。这就是卡尔曼滤波做的事情了。

   卡尔曼滤波

利用我们之前建立的模型（（2）和（3）），假设对于k-1时刻我们对系统有一个估计值 ,这个估计值的协方差为  ，则利用状态转移方程我们得到预测状态
 （4）
这个预测状态的协方差  为：
然后我们要算出测量残差：
直观上理解  ：如果使用状态转移方程计算出预测量  ，应该得到的观测值为 ，而我们实际的观测值为  ，所以这个  衡量的是我们的测量值与预测值的偏差，  的协方差  为
第一项为0，因为  代表k时刻系统状态的真实值，是一个固定值，没有协方差。所以简化为：
最后，我们得到的后验估计  为：
其中  为卡尔曼增益，我们要选取最优卡尔曼增益使得估计值的均方误差达到最小，均方误差表达为  ,
而  的协方差  为
所以  
因为有：  ，所以
其中，第一项 
第二项  需要注意的是，因为  求的是矩阵的对角阵元素之和，所以  ，所以可以先将第二项括号内的式子转置得到：  ，而协方差矩阵  又是对称矩阵，所以可以化为 
第三项  ，  也为对称矩阵,所以可化为 
综上， 
令导数为0，即  ，解得
 即为所求卡尔曼增益，用它作为更新(修正)状态的权值(即  )可以获得最小均方误差。
所以最优估计  就产生了，这时，再用
更新最优估计的协方差矩阵  即可，这样一次迭代就结束了。然后将  和  作为下一时刻的状态值即可继续迭代。

—完—

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这个人很懒，什么都没写

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