从一个骗局谈生活中的基础算法

曾经有一个著名的骗局：

小明是一个赌马爱好者，最近他连续几次提前收到了预测赌马结果的邮件，从一开始由于不屑而错失良机，到渐渐深信不疑，直到最后给邮件发送方汇了巨款才发现上当。

看过这个的人应该知道，骗子收集到一份邮件信息后，分组发送不同预测结果的邮件，赌马结果公布后，再将筛选出来的那部分人分组，继续发送下一轮预测邮件。几轮过后，肯定能保证一部分人收到的预测结果是完全正确的。这也是最关键的部分。

那么骗子是如何从几万或几十万用户中寻找这些“幸运儿”的呢？这是一种二分法的思想。

假如要顺序在100万人中寻找一个人，最多需要100万次，而二分法只需要18次。

下面讲讲一些能够解决生活中一些具体问题的常用算法。

对于一个长度为N的数组，简单查找最多需要N步；二分查找最多只需要logN步（约定底数为2）。

二分查找相较于简单查找，极大地提高了效率，但是二分查找的前提是列表是有序的，这也导致了诸多限制。

D&C

D&C(divide and conquer)分而治之是一种重要的解决问题思路。当面对问题束手无策时，我们应该考虑一下：分而治之可以解决吗？

现在有一个问题，假如一块土地（1680*640）需要均匀地分为正方形，而且正方形的边长要尽量的大。该怎么分？

这个问题本质就是求两条边长的最大公因数。可以使用欧几里得算法（辗转相除）

1. 选择基准值

2. 将数组分成两个子数组：基准值左边的数组和基准值右边的数组

3. 对这两个数组进行快速排序

快速排序的最糟情况是O(n^2),O(n^2)已经很慢了，为什么还要叫它快速排序呢?

快速排序的平均运行时间为O（nlogn）,而合并排序的时间总是O（nlogn），合并排序似乎更有优势，那为什么不用合并排序呢？

因为大O表示法中的n是一个常量，当两种算法的时间复杂度不一样时，即使n在数值上不同，对总时间的影响很小，所以通常不考虑。

但有些时候，常量的影响很大，对快速排序和合并排序就是这样，快速排序的常量小得多，所以当这两种算法的时间复杂度都为O（nlogn）时，快速排序要快得多。而相较于最糟的情况，快速排序遇上平均情况的可能性更大，所以可以稍稍忽视这个问题。（快速排序最糟的情况下调用栈为O(n),在最佳情况下，调用栈长O(logn)）

使用散列函数和数组可以构建散列表，散列表是包含额外逻辑的数据结构。

但是要编写出完美的散列函数几乎不可能，假如给两个键分配的空间相同的话就会出现冲突。如何处理冲突呢?最简单的办法是：假如在某一空间上产生冲突，就在这一空间后再加上一个链表。但是假如这个链表很长，会很影响查找的速度（链表只能顺序查找，查找时间为O(n)）

所以一个能尽量避免冲突的散列函数是多么重要，那么怎么编写一个性能较高的散列表呢？

1. 较低的填装因子（一旦填装因子大于0.7，就需要调整长度）

2. 良好的散列函数（让数组中的值呈均匀分布，可以了解下SHA函数）

广度优先搜索能够解决两个问题：

1. 两个节点之间是否存在相连的路径

2. 最短的距离是多少？这个“最短距离”的含义有很多种。

想象这么一个问题：你想在你的微信好友和好友的好友中寻找是否有人是一名消防员，该如何查找？并且尽可能这人和你的关系更近些。

在图中，搜索最小的“段”数可以用广度优先算法，这就相当于默认每条边的权重是相同的，如果每条边的权重不同呢？那就需要用到迪克斯特拉算法。

概括来说，迪克斯特拉算法就是从起点开始，首先寻找最廉价的节点，更新其开销并标记为已处理，然然后在未处理的节点中寻找开销最小的节点，然后以此往复下去。

针对书中的这样一个问题，我把题干提取出来：目标是用乐谱换钢琴。现在乐谱可以免费换海报；海报加30元换吉他；海报加35元换架子鼓；乐谱加5元可以换唱片；唱片加15元换吉他；唱片加20元换架子鼓；吉他加20元换钢琴；架子鼓加10元换钢琴。

现在我用图把这个关系表示出来：

可以看出这是一个加权图，现在我们要使用迪克斯特拉算法寻找最短路径。

最后的最低开销表为：

节点

开销

父子节点表为：

父节点

子节点

可以看出，最优的交换的路径为：piano-drum-record-music

最低开销为：35元

在迪克特拉斯算法的基础上，我们考虑这样一种情况，假如边的权重存在负值。

在迪克特拉斯算法中，我们首先寻找最廉价的节点，更新其开销，再寻找未处理节点中最廉价的节点，以此往复。

可能出现这样一个情况：

在将海报标记为已处理后，开始处理唱片，但是唱片到海报的路径使得海报的开销更小，又将更新海报的开销，但是海报已经标记为已处理。那么就会出现一些问题。假如继续使用迪克特拉斯算法，最后的结果肯定是错的，大家可以更改参数试一下。为了正确解决问题，这时需要使用贝尔曼-福德算法。

对于一些比较复杂的问题，使用一些算法不能简单有效地解决，这时候往往会使用贪心算法：每步操作都选择局部最优解，最终得到的往往就是全局最优解。这似乎是想当然的做法，但是很多情况下真的行之有效。当然，贪心算法不适用于所有场景，但是他简单高效。因为很多情况并不需要追求完美，只要能找到大致解决问题的办法就行了。

假如我们面对这么一个问题：假设我开了一家网店，在全国各省都有生意，现在面临发快递的问题，假设现在的基础物流不是很完善，每家快运公司只能覆盖很少几个省，那么我该如何在覆盖全国34个省级行政区的情况下，选择最少的快运公司？

这个问题看似不难，其实很复杂。

现在假设有n家快运公司，那么全部的组合有2^n种可能。

N

2^N

可以看到，假如有50家快递公司，我将要考虑1125千亿种可能。可以看到，没有算法能很快的计算出这个问题，那么我们可以使用贪心算法，求局部最优解，然后将最终得到的视为全局最优解。

那么在这个问题下如何使用贪心算法？核心在于什么是局部最优条件？可以这样：

1. 选择一家覆盖了最多未覆盖省的公司。

2. 重复第一步。

来源：果核里的图灵

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